Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không khí (LV thạc sĩ)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản khá đầy đủ của tài liệu tại đây (2.32 MB, 66 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
—————————
VŨ XUÂN SANG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
—————————
VŨ XUÂN SANG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI
THÁI NGUYÊN – 2017
1
Mục lục
Lời cảm ơn
i
Mở đầu
1
1
Kiến thức sẵn sàng
1.1 Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
1.1.1
Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Véc tơ và tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1
Véc tơ trong không khí . . . . . . . . . . .
6
1.2.2
Tọa độ trong không khí . . . . . . . . . . .
7
1.3 Sơ lược về những phép biến hình . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1
Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2
Phép vị tự và phép đồng dạng . . . . . . . . 11
1.3.3
Một số ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . 12
2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không
gian
16
2.1 Phương pháp quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng trong không khí . . . 19
2.2.1
Quỹ tích phẳng trong không khí . . . . . . 19
2.2.2
Quỹ tích hình chiếu của điểm lên đường thẳng 23
2
2.2.3
Quỹ tích hình chiếu của điểm lên mặt phẳng . 27
2.3 Phương pháp véc tơ và tọa độ . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1
Tìm quỹ tích nhờ véc tơ . . . . . . . . . . . 31
2.3.2
Tìm quỹ tích nhờ tọa độ . . . . . . . . . . . 33
2.4 Phương pháp biến hình . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1
Ứng dụng những phép dời hình . . . . . . . . . 38
2.4.2
Ứng dụng phép vị tự và phép đồng dạng . . . 41
2.5 Một số bài toán quỹ tích nâng cao . . . . . . . . . . 44
2.5.1
Kết hợp những phương pháp giải . . . . . . . . 44
2.5.2
Một số cách giải đặc biệt quan trọng . . . . . . . . . . . 49
Tài liệu tìm hiểu thêm
59
3
Danh mục hình
1.1
Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2
Quỹ tích những điểm M, N, G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1
Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Quỹ tích I, H, E, F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Quỹ tích trung điểm I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4
Quỹ tích I,K,H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5
Bài toán A: Quỹ tích H, E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.6
Bài toán A: quỹ tích E, N, H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.7
Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu H của A . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.8
Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu N của A . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.9
Quỹ tích hình chiếu của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.10 Mặt phẳng trung trực và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.11 Phương pháp tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.12 Đối xứng tâm SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.13 Đối xứng trục SBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.14 Quỹ tích M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.15 Quỹ tích trọng tâm Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.16 Quỹ tích A , B , C , G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.17 Hai phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.18 Quỹ tích S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.19 Quỹ tích A, B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.20 M nhìn mặt cầu dưới góc vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.22 Quỹ tích H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
i
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học – Đại
Học Thái Nguyên, những thầy cô thuộc phòng Đào tạo sau ĐH, những
cán bộ thuộc Trung tâm Nhiên cứu Giáo dục đào tạo-Đào tạo Hải Phòng Đất Cảng,… đã
tạo Đk tốt nhất để hoàn thành xong khóa học. Tôi xin chân thành cảm
ơn quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (năm ngoái – 2017) nhà trường
đã tận tình truyền đạt những kiến thức và kỹ năng quý báu cũng như tạo Đk
cho tôi hoàn thành xong khóa học.
Để hoàn thành xong được luận văn một cách hoàn hảo nhất, tôi luôn nhận
được sự hướng dẫn và giúp sức nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải,
Giảng viên thời thượng Trường Đại học Hải Phòng Đất Cảng. Tôi xin chân thành bày
tỏ lòng biết ơn thâm thúy đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối
với những điều thầy đã dành riêng cho tôi.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới mái ấm gia đình, bạn hữu, những
người đã luôn động viên, tương hỗ và tạo mọi Đk cho tôi trong suốt
quy trình học tập và tiến hành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hải Phòng Đất Cảng, tháng … năm 2017
Tác giả
Vũ Xuân Sang
1
Mở đầu
Trong hình học phổ thông ta đã biết những bài toán quỹ tích được
gọi là bài toán tìm tập hợp điểm. Khi có kiến thức và kỹ năng về tọa độ và những
phép biến hình thì loại toán này được gặp thường xuyên hơn. Luận văn
này muốn nghiên cứu và phân tích một cách khối mạng lưới hệ thống những bài toán tìm quỹ tích điểm
trong không khí (đương nhiên có tương quan đến những quỹ tích trong mặt
phẳng). Ngoài cách phát biểu bài toán quỹ tích, nội dung đa phần của
luận văn là nêu những phương pháp hay dùng khi giải những bài toán quỹ
tích trong không khí. Đó là những phương pháp cơ bản và có hiệu suất cao
nếu biết sử dụng đúng chỗ.
Mục đích của đề tài là:
– Nghiên cứu bài toán quỹ tích trong hình học không khí và những
phương pháp giải.
– Trình bày cơ sở khoa học và những kỹ thuật vận dụng những phương pháp:
Phương pháp quỹ tích cơ bản, phương pháp quỹ tích phẳng trong không
gian, phương pháp véc tơ-tọa độ, phương pháp biến hình và một số trong những vấn
đề tương quan.
– Các kiến thức và kỹ năng về hình học không khí cũng như những kỹ thuật giải
toán hình học không khí được khối mạng lưới hệ thống và nâng cao qua những bài toán
quỹ tích hay và khó trong những kỳ thi học viên giỏi.
– Người nghiên cứu và phân tích có thêm kiến thức và kỹ năng và kĩ năng tu dưỡng học viên
giỏi về những yếu tố khó của Hình học.
2. Nội dung của đề tài, những yếu tố cần xử lý và xử lý
Trình bày khối mạng lưới hệ thống cách giải bài toán quỹ tích trong không khí.
Phần lý thuyết trình diễn tóm tắt những cơ sở khoa học của những phương
pháp. Phần trọng tâm ở chương 2 nêu những kỹ thuật rõ ràng khi vận dụng
2
những phương pháp giải. Đồng thời đưa ra những ví dụ nổi bật nổi bật để chứng
tỏ những phương pháp giải là thực sự hiệu suất cao.
Chương 1. Kiến thức sẵn sàng
Nhắc lại về bài toán quỹ tích, véc tơ và tọa độ trong không khí
và những yếu tố cơ bản của phép biến hình trong không khí. Nội dung
những phần này được tinh lọc đủ để vận dụng trong chương hai, gồm có
những mục sau:
1.1. Bài toán quỹ tích trong mặt phẳng và trong không khí
1.2. Các quỹ tích cơ bản
1.3. Véc tơ, những phép toán trên những véc tơ
1.4. Tọa độ trong không khí
1.5. Sơ lược về những phép biến hình
Chương 2. Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không
gian
Lần lượt trình diễn những phương pháp giải bài toán quỹ tích trong
không khí, mở đầu là phương pháp quỹ tích cơ bản. Mỗi phương pháp
đều phải có phân tích và phản hồi về kiểu cách sử dụng, những ví dụ và những bài toán
mẫu được tinh lọc. Lưu ý cách giải những bài toán quỹ tích ở tại mức độ khó.
chương hai phân thành những mục sau:
2.1. Phương pháp quỹ tích cơ bản
2.2. Phương pháp quỹ tích phẳng trong không khí
2.3. Phương pháp véc tơ, tọa độ
2.4. Phương pháp biến hình
2.5. Một số bài toán quỹ tích nâng cao.
Tác giả.
3
Chương 1
Kiến thức sẵn sàng
1.1
Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán khó không những so với những người học mà
trong cả so với những người dạy bởi bản thân nó là bài toán về hoạt động giải trí và sinh hoạt,
bài toán về hàm trong hình học. Về thực ra đấy là bài toán về tập
hợp: “Tìm tập hợp (hay dựng tập hợp) khi cho biết thêm thêm tính chất đặc trưng
của những thành phần của nó”. Về thuật ngữ chúng tôi chọn thuật ngữ “quỹ
tích” để thể hiện rõ bài toán đang nghiên cứu và phân tích là bài toán hình học mà
không dùng thuật ngữ chung chung là “tập hợp”. Hơn nữa, ở đây chỉ
xét phương pháp giải những bài toán quỹ tích điểm, những quỹ tích khác sẽ
được nghiên cứu và phân tích ở một đề tài khác.
1.1.1
Khái niệm
Bài toán quỹ tích(điểm): Tìm toàn bộ những điểm (trên mặt phẳng hay
trong không khí) có chung tính chất α nào đó và chỉ những điểm ấy.
Nghiệm của bài toán là một hình (tập hợp điểm) gồm và chỉ gồm những
điểm có tính chất α. Nếu ta gọi H(α) là tập hợp toàn bộ những điểm M có
tính chất α, còn Φ là một hình nào đó. Ta nói hình Φ là nghiệm của bài
toán tức là ta phải chứng tỏ đẳng thức tập hợp
H(α) = Φ H(α) Φ và Φ H(α)
Mệnh đề “nếu M H(α) thì M Φ” được gọi là mệnh đề thuận; còn
mệnh đề “nếu M Φ thì M H(α)” được gọi là mệnh đề hòn đảo. Hai
mệnh đề này được gọi là cặp thuận-hòn đảo.
4
Áp dụng quy tắc lô gic, ngoài cặp “thuận-hòn đảo” đó ta còn trọn vẹn có thể giải
bài toán quỹ tích với những cặp mệnh đề tương tự sau:
-Cặp “thuận-phản”:
Nếu M H(α) thì M Φ và nếu M
/ H(α) thì M
/ Φ;
-Cặp “phản hòn đảo-hòn đảo”:
Nếu M
/ Φ thì M
/ H(α) và M Φ thì M H(α);
-Cặp “phản hòn đảo-phản”:
Nếu M
/ Φ thì M
/ H(α) và nếu M
/ H(α) thì M
/ Φ.
Chú ý.
i. Trong bài toán quỹ tích việc phát hiện ra hình Φ Φ đóng vai
trò quan trọng nhất của bài toán. Cách phát hiện ra Φ vẫn phải
là tìm cách Dự kiến hoặc từ cách làm phần thuận với kinh nghiệm tay nghề
hình học sẵn có sẽ bật ra hình Φ .
ii. Quan điểm của chúng tôi khi trình diễn lời giải bài toán quỹ tích
cần và chỉ việc phải có hai phần: phần thuận và phần hòn đảo. Phần thuận
đảm bảo tính không thiếu và phần hòn đảo đảm bảo tính không thừa
của quỹ tích. Chính vì thế “số lượng giới hạn (nếu có)” chỉ là một rõ ràng
nhỏ trong phần hòn đảo để loại đi phần thừa, quan điểm đó khác với
nhiều tác giả coi “số lượng giới hạn quỹ tích là thiết yếu và là một mục nhất
thiết phải trình diễn trong lời giải” (xem ví dụ nổi bật nổi bật [4]).
iii. Kỹ thuật lập mệnh đề hòn đảo. Bản chất của chứng tỏ mệnh đề hòn đảo
là chứng tỏ “từ M H(α) kéo theo M Φ” theo như đúng nghĩa
chứng tỏ bao hàm thức H(α) Φ. Trên thực tiễn tính chất α là
hội của những tính chất, ví dụ nổi bật nổi bật α1 , α2 , α3 , trong phần hòn đảo ta phải
lấy bất kỳ M Φ và thỏa mãn thị hiếu α1 , α2 rồi chứng tỏ M thỏa mãn thị hiếu
α3 . Chính vì thế sau khoản thời hạn lấy M Φ ta phải tiến hành bài toán dựng
hình. Ở đây cần đến kỹ thuật tách α thành những tính chất α1 , α2 , α3 .
Từ này cũng thấy có nhiều cách thức lập mệnh đề hòn đảo, nếu khôn khéo ta
trọn vẹn có thể nhận được phép chứng tỏ phần hòn đảo đơn thuần và giản dị hơn.
Để khởi đầu với bài toán quỹ tích ta phải liệt kê những quỹ tích cơ bản
(Xem rõ ràng [2]).
5
1.1.2
Quỹ tích cơ bản
Các quỹ tích sau (thường đã chứng tỏ trong những sách giáo khoa)
được gọi là những quỹ tích cơ bản. Sau này những quỹ tích phải tìm sẽ tiến hành
quy về những quỹ tích cơ bản.
a. Trong mặt phẳng:
Quỹ tích 1: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm A, B cho trước là
đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Quỹ tích 2: Quỹ tích những điểm mà khoảng chừng cách từ đó đến một đường
thẳng a cho trước bằng h không đổi là hai tuyến phố thẳng a , a tuy nhiên tuy nhiên
với a, cách a một khoảng chừng bằng h.
Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều 2 cạnh của một góc là
đường phân giác của góc đó.
Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng chừng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một đường thẳng vuông góc với AB
k2
tại điểm H thỏa mãn thị hiếu: IH =
, với I là trung điểm của AB.
2AB
Quỹ tích 5: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước một
khoảng chừng bằng R cho trước là đường tròn tâm O, nửa đường kính R.
Quỹ tích 6: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc
γ là cung chứa góc γ dựng trên đoạn thẳng đó (hai cung đối xứng nhau
qua AB). Khi γ = 900 quỹ tích là đường tròn đường kính AB.
Quỹ tích 7: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng chừng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là đường tròn tâm I, nửa đường kính ρ với I
1
là trung điểm AB, ρ =
2k 2 AB2
2
Quỹ tích 8: Quỹ tích những điểm mà tỷ số khoảng chừng cách từ đó đến hai
điểm A, B bằng m là một đường tròn đường kính CD sao cho C, D chia
điều hòa AB (Đường tròn Apololiut).
b. Trong không khí:
Quỹ tích 9: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm A,B là mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB.
Quỹ tích 10: Quỹ tích những điểm mà khoảng chừng cách từ đó đến một mặt
phẳng P cho trước bằng h không đổi là hai mặt phẳng P , P tuy nhiên tuy nhiên
với P và cách P một khoảng chừng bằng h.
Quỹ tích 11: Quỹ tích những điểm cách đều 2 nửa mặt phẳng của nhị
diện là mặt phẳng phân giác trong của nhị diện đó.
6
Quỹ tích 12: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng chừng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một mặt phẳng vuông góc với AB
k2
tại điểm H thỏa mãn thị hiếu: IH =
, với I là trung điểm của AB.
2AB
Quỹ tích 13: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước
một khoảng chừng cách R là mặt cầu tâm O, nửa đường kính R.
Quỹ tích 14: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc
vuông là mặt cầu đường giao thông vận tải kính AB.
Quỹ tích 15: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng chừng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một mặt cầu tâm I, nửa đường kính ρ với
1
I là trung điểm AB, ρ =
2k 2 AB2 .
2
Quỹ tích 16: Quỹ tích những điểm mà tỷ số khoảng chừng cách từ đó đến
hai điểm A, B bằng m là một mặt cầu đường giao thông vận tải kính CD sao cho C, D chia
điều hòa AB (Mặt cầu Apololiut).
1.2
Véc tơ và tọa độ
1.2.1
Véc tơ trong không khí
Các phép toán:
Phép cộng: a + b = MA + AB = MB.
Phân tích véc tơ theo quy tắc 3 điểm AB = AM + MB.
Phân tích véc tơ theo quy tắc n điểm
AB = AM1 + M1 M2 + … + Mn1 Mn + Mn B.
Tổng hợp véc tơ theo quy tắc trung điểm
MA + MB = 2MI, I là trung điểm của AB.
Tổng hợp véc tơ theo quy tắc hình hộp
MA + MB + MC = 2MN, MN là đường chéo hình hộp.
Phép nhân véc tơ với một số trong những thực: b = ka b a, |b| = |k||a|;
b, a cùng chiều nếu k > 0, b, a ngược chiều nếu k < 0.
Không gian véc tơ Euclid: Một không khí véc tơ E trên trường số thực
R được gọi là một không khí véc tơ Euclid thực nếu có một dạng
7
tuy nhiên tuyến tính đối xứng (a, b) : E × E R thỏa mãn thị hiếu Đk:
(a, a) > 0 với mọi véc tơ a = 0.
Dạng tuy nhiên tuyến tính đối xứng này được gọi là tích vô vị trí hướng của E.
Nói cách khác, tích vô vị trí hướng của hai véc tơ a, b E là số thực (a, b),
ký hiệu đơn thuần và giản dị là a.b, thỏa mãn thị hiếu 4 Đk:
(1) a.b = b.a; (2) (a + b).c = a.c + b.c; (3) k.(a.b) = (k.a).b với mọi
k R; (4) a.a = a2 , a.a = 0 a = 0.
Biểu diễn sự kiện hình học theo ngôn từ véc tơ
M N OM = ON OM ON = 0 MN = 0 .
1
I-trung điểm AB IA + IB = 0 MI = (MA + MB), M.
2
G-trọng tâm ABC GA + GB + GC = 0
1
MG = (MA + MB + MC), M.
3
G-trọng tâm tứ diện ABCD GA + GB + GC + GD = 0
1
MG = (MA + MB + MC + MD), M.
4
Ba điểm A,B,C thẳng hàng AB = αAC hoặc BC = β CA hoặc
CA = γ AB p., q R, p. + q = 1|MC = p..MA + q.MB.
Điểm D (ABC) DA = αDB + β DC hoặc BA = α BC + β BD
p., q, r R, p. + q + r = 1| O, OD = p..OA + q.OB + r.OC.
1.2.2
Tọa độ trong không khí
a. Tọa độ của điểm và véc tơ:
M(x, y, z) OM = x.e1 + y.e2 + z.e3 .
a = (a1 , a2 , a3 ) a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ;
b = (b1 , b2 , b3 ) b = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 .
Nếu A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) thì AB = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ).
a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ).
αa ± β b = (αa1 ± βb1 , αa2 ± βb2 , αa3 ± βb3 ).
b. Kỹ thuật chọn gốc tọa độ. Để giải bài toán hình học bằng phương
pháp tọa độ thì kỹ thuật chọn gốc tọa độ là kỹ thuật quan trọng nhất,
nó quyết định hành động những tính toán về sau. Nhiều trường hợp bài giải khá dễ
8
dàng nếu ta chọn hệ toa độ thích hợp, những tính toán, những màn biểu diễn đơn
giản nhưng ta cũng tiếp tục gặp bế tắc trong tính toán và không xác lập
được phương trình quỹ tích nếu ta chọn hệ tọa độ không thích hợp. Sau
đấy là một số trong những cách chọn hệ tọa độ khi đã có sẵn những hình không khí:
Hình lập phương: Chọn hệ tọa độ sao cho A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0),
D(0,a,0), A (0, 0, a), B (a, 0, a), C (a, a, a), D (0, a, a). Tương tự cho hình
hộp chữ nhật. Tam diện vuông là một nửa hình hộp chữ nhật nên những
cạnh của tam diện cũng rất được chọn làm những trục tọa độ.
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi: Gốc tọa độ lấy trùng với giao
điểm O của hai tuyến phố chéo hình thoi ABCD. Trục Oz trải qua hai tâm
của đáy. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cũng rất được đặt hệ tọa độ
tương tự.
Hình chóp đều. Giả sử hình chóp S. ABC, AB=a, SH=h.
Cách 1. Chọn gốc O là trung điểm của BC, A Ox, B Oy.
Cách 2. Chọn gốc O là trực tâm H, Ox BC, A Oy, S Oz.
Hình chóp S.ABCD có SA(ABCD), SA=h. Nếu đáy là hình chữ
nhật ta chọn A=O, BOx, DOy,SOz. Nếu đáy là hình thoi ta chọn
O là tâm của đáy, BOx, COy, Oz SA.
Hình chóp S.ABCD có (SAB)(ABC), đường cao SAB là đường
cao của chóp. Nếu ABC vuông tại A ta chọn hệ tọa độ mà A=O,
BOy, C Ox, Oz SH (đường cao chóp). Nếu vuông tại B ta chọn
B=O, vuông tại C chọn C=O. Nếu tam giác ASB cân tại S, ABC cân
tại C ta chọn H=O, C Ox, B Oy, S Oz.
c. Tích vô hướng và độ dài.
a.b = |a||b| cos(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
a b a.b = 0 a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0.
|a| = a21 + a22 + a23 ; |b| = b21 + b22 + b23 .
|a ± b| = (a1 ± b1 )2 + (a2 ± b2 )2 + (a3 ± b3 )2 .
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
cos(a, b) =
.
( a21 + a22 + a23 )( b21 + b22 + b23 )
d. Tích có vị trí hướng của hai véc tơ.
a2 a3 a3 a1 a1 a2
,
.
[a, b] =
,
b2 b3 b3 b1 b1 b2
9
a, b mp(a, b); a
b [a, b] = 0; a, b, c đồng phẳng (a, b, c) = 0.
2
|[a, b]| =
2
2
a2 a3
a a
a a
+ 3 1 + 1 2 .
b2 b3
b3 b1
b1 b2
e. Phương trình mặt phẳng.
Phương trình tham số của mặt phẳng:
x = x0 + a1 u + b1 v
y = y0 + a2 u + b2 v , cặp véc tơ chỉ phương a, b; u, v R.
z = z +a u+b v
0
3
3
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trải qua một điểm, có cặp véc
tơ chỉ phương a, b:
a2 a3
a a
a a
(x x0 ) + 3 1 (y y0 ) + 1 2 (z z0 ) = 0.
b2 b3
b3 b1
b1 b2
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trải qua ba điểm M1 , M2 , M3 :
x x1 y y1 z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1 = 0
x3 x1 y3 y1 z3 z1
Phương trình chùm mặt phẳng:
Cho mặt phẳng Π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 với n1 = (A1 , B1 , C1 )
và Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 với n2 = (A2 , B2 , C2 ) cắt nhau
theo đường thẳng d. Ta có phương trình chùm mặt phẳng xác lập bởi
Π1 , Π2 :
p.(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + q(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 với p2 + q 2 > 0.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho mặt phẳng Π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 với n1 = (A1 , B1 , C1 )
và Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 với n2 = (A2 , B2 , C2 )
+Nếu n1 , n2 không đồng phương thì Π1 cắt Π2 .
+Nếu n1 , n2 đồng phương Π1 , Π2 không tồn tại điểm chung Π1 Π2 .
+Nếu n1 , n2 đồng phương và Π1 , Π2 có điểm chung thì Π1 Π2 .
f. Phương trình đường thẳng trong không khí.
Phương trình tham số: Đường thẳng trải qua M0 (x0 , y0 , z0 ) và có
véc tơ chỉ phương a = (a1 , a2 , a3 ):
10
x = x 0 + a1 t
y = y 0 + a2 t
z = z +a t
0
3
Phương trình chính tắc:
x x0
y y0
z z0
=
=
a1
a2
a3
Phương trình tổng quát
:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A21 + B21 + C21 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A22 + B22 + C22 = 0.
Tất cả những bài toán dạng lập phương trình đường thẳng, phương
trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu,… đều sẽ là bài toán tìm
quỹ tích (tập hợp những điểm thỏa mãn thị hiếu phương trình hoặc hệ phương
trình). Trong chương 2 ta chỉ xét những bài toán quỹ tích trong hình học
không khí thuần túy được giải bằng phương pháp tọa độ.
1.3
Sơ lược về những phép biến hình
1.3.1
Phép dời hình
Định nghĩa 1.1. Một phép biến hình f trong không khí được gọi là
phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng chừng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Sau đây ta xét một số trong những phép dời hình đặc biệt quan trọng.
-Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo véc tơ v là phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M sao cho MM = v . Ta ký hiêu T
v (M) = M ,
nghĩa là MM = v .
– Phép đối xứng trục: Cho đường thẳng d. Phép đối xứng qua đường
thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến
mỗi điểm không thuộc d thành thành điểm M sao cho d là trung trực
của đoạn thẳng MM . Ký hiệu phép đối xứng qua đường thẳng d là Sd ,
d được gọi là trục đối xứng.
-Phép đối xứng tâm: Cho điểm O. Phép đối xứng qua tâm O là phép
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho O là trung điểm của
đoạn MM .
11
-Phép quay xung quanh một trục. Cho trục X và một số trong những α, phép
α
quay xung quanh trục X với góc quay α là phép biến hình Q.
cho ứng
X
mỗi điểm M với điểm M trong không khí sao cho M nằm trong mặt
phẳng kim chỉ nan Π X qua M và trong mặt phẳng kim chỉ nan Π,
M = QO
α , O = X Π.
Phép xoay quanh một trục là một phép dời hình thuận. Dễ thấy
Sd = Qπd .
-Phép đối xứng qua mặt phẳng. Cho mặt phẳng P, phép đối xứng
qua P, ký hiệu là SP là phép biến hình biến M thành M trong không
gian sao cho: nếu M P thì M M, nếu M
/ P thì P là mặt phẳng
trung trực của MM . Đây là một phép dời hình nghịch.
-Phép biến hình xoắn ốc. Phép biến hình xoắn ốc ký hiệu là X( X , α, v)
là tích giao hoán được của một phép quay QO
α và một phép tịnh tiến Tv
với phương tịnh tiến tuy nhiên tuy nhiên với trục quay:
O
X( X , α, v) = QO
α Tv = Tv Qα .
Ta chứng tỏ được: Tích hai phép biến hình xoắn ốc là một phép biến
hình xoắn ốc; Mọi phép dời hình trong không khí đều là một phép biến
hình xoắn ốc.
1.3.2
Phép vị tự và phép đồng dạng
Định nghĩa 1.2. Cho số k = 0 và điểm O cố định và thắt chặt. Phép biến hình
trong không khí biến M thành M sao cho OM = k OM được gọi là
phép vị tự, O là tâm và k là tỷ số vị tự . Ta ký hiệu phép vị tự là HO
k.
Phép vị tự có những tính chất sau: (xem trong [2])
O
a. Nếu M = HO
k (M), N = Hk (N) thì M N = k MN và do đó, M N =
|k |MN. Phép vị tự là trường hợp đặc biệt quan trọng của phép đồng dạng.
b. Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, biến
4 điểm đồng phẳng thành 4 điểm đồng phẳng. Từ đó suy ra phép
vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng tuy nhiên tuy nhiên, mặt phẳng
thành mặt phẳng tuy nhiên tuy nhiên.
c. Ảnh của đường tròn C(ω, R) qua HO
k là đường tròn C (ω , R ) với
Oω = k Oω; R = |k|R. Ảnh của mặt cầu S(ω, R) qua HO
k là mặt
cầu S (ω , R ) với Oω = k Oω; R = |k|R.
12
d. Tích hai phép vị tự
I
HO
k Hh =
HO
kh
Tv
nếu hk = 1
nếu hk = 1
Định nghĩa 1.3. Ánh xạ f biến M thành M được gọi là phép đồng
dạng nếu tỷ số giữa khoảng chừng cách của hai điểm ảnh M , N với mức
cách của hai điểm tạo ảnh M, N là một hằng số k . Số k được gọi là tỷ
số đồng dạng của f .
Các phép dời hình hoặc vị tự đều là những phép đồng dạng. Tích của
phép dời hình (thuận, nghịch) với một phép vị tự là phép đồng dạng
(thuận, nghịch).
1.3.3
Một số ví dụ mở đầu
Ta xét một số trong những ví dụ tìm quỹ tích đơn thuần và giản dị để minh họa cách lập cặp
mệnh đề thuận-hòn đảo, cách vận dụng những kiến thức và kỹ năng trên trình diễn lời giải
theo nhiều cách thức. Những ví dụ này cũng trọn vẹn có thể xem là những bài toán quỹ
tích cơ bản được sử dụng như những quỹ tích cơ bản.
Ví dụ 1.1. Cho hai tuyến phố thẳng chéo nhau a, b nhận AB làm đường
vuông góc chung, A a, B b. Các điểm E, F lần lượt di động trên a, b.
Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng EF.
Lời giải 1 (quỹ tích cơ bản).
Hình 1.1: Bài toán mở đầu
13
Phần thuận. Gọi O là trung điểm AB, qua O kẻ a a, b b. Gọi E , F
lần lượt là hình chiếu của E, F lên mặt phẳng (R) xác lập bởi hai
đường thẳng a , b . Dễ thấy tứ giác EE FF là hình bình hành, M là giao
hai tuyến phố chéo nên M là trung điểm của E F . Suy ra M (R). Đó là
mặt phẳng trung trực của AB (quỹ tích 7).
Phần hòn đảo. Lấy bất kỳ M trên (R) ta cần dựng hai điểm E a, F b để
đoạn EF nhận M làm trung điểm.
Kẻ qua M một đường thẳng tuy nhiên tuy nhiên với b cắt a tại I (do a, b chéo
nhau nên có giao điểm I). Trên a lấy điểm E = O sao cho OI = IE .
Đường E M cắt b tại F . Theo cách dựng, OE F nhận MI làm đường
trung bình nên M là trung điểm của E F . Dựng những hình bình hành
AOE E, BOF F, dễ chứng tỏ được E a, F b, EE FF và EE =
FF . Do đó tứ giác EE FF là hình bình hành, M là trung điểm của E F
nên M cũng là trung điểm của EF.
Kết luận. Quỹ tích những điểm M là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Lời giải 2 (véc tơ). Lấy a, b là những véc tơ chỉ phương của a và b. Giả
sử AE = ea, BF = f b với a không tuy nhiên tuy nhiên b. Gọi O là trung điểm của
AB, ta có OE + OF = OA + AE + OB + BF = AE + BF = ea + f b với
mọi e, f R.
1
I là trung điểm của EF OE + OF = 2OI OI = (e.
a +
2
f. b ) với mọi e, f R. Ta kết luận quỹ tích những điểm I là mặt phẳng
qua O, nhận a, b làm cặp chỉ phương. Với giả thiết AB là đường vuông
góc chung của a, b thì mặt phẳng đó đó là mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB.
Lời giải 3 (tọa độ). Chọn hệ tọa độ Oxyz với O là trung điểm AB,
Ox a, Oy b (hệ tọa độ affine). Đặt AB = a = const, Ta tính được
tọa độ những điểm E, F, I. Từ đó viết được phương trình mặt phẳng quỹ
tích điểm I.
Ví dụ 1.2. Cho tứ diện ABCD. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho
MA2 + MB2 = MC2 + MD2 .
14
Lời giải. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó,
2
MA + MB
2
MC2 + MD2
AB2
= 2MI +
22 .
CD
= 2MJ2 +
2
2
Ta dùng sơ đồ “thuận-hòn đảo tuy nhiên tuy nhiên”: MA2 + MB2 = MC2 + MD2
CD2 AB2
2
2
quỹ tích của M là mặt phẳng vuông góc
MI MJ =
4
với IJ tại H, H xác lập bởi (theo quỹ tích cơ bản 12):
CD2 AB2
CD2 AB2
4
OH =
IJ.OH =
8
2IJ
(O là trung điểm IJ).
Ví dụ 1.3. Cho điểm E cố định và thắt chặt nằm trong mặt cầu S tâm O, nửa đường kính
R. Một đường thẳng d luôn qua E cắt S tại hai điểm A, B. Tìm quỹ tích
trung điểm M của AB, trung điểm N của đoạn EA, trọng tâm G của
tam giác OEA.
Lời giải.
a. Vì M là trung điểm dây AB của mặt cầu S nên OM AB. Điểm M
nhìn OE dưới một góc vuông nên M thuộc mặt cầu S1 đường kính OE
(quỹ tích 14).
Đảo lại, với mọi M S1 đường thẳng EM cắt S1 tại hai điểm A , B .
Ta có OM A B nên M phải là trung điểm của A B .
Quỹ tích của M là mặt cầu S1 , đường kính OE.
b. Gọi I là trung điểm của OE. Tam giác OEA nhận IN là đường trung
1
R
R
bình nên IN = OA = . Vậy N thuộc mặt cầu S2 , tâm I nửa đường kính .
2
2
2
R
Đảo lại, hiển nhiên. Quỹ tích của N là mặt cầu S2 tâm I nửa đường kính .
2
IG 1
c. G là trọng tâm tam giác OEA nên G thuộc trung tuyến IA và
= .
IA
3
1
Như vậy, ta có đẳng thức: N = HIk (A), k = . Suy ra quỹ tích của N là
3
1
ảnh vị tự của mặt cầu S qua phép vị tự tâm I, tỷ số k = .
3
Nhận xét 1.1. Vì phép vị tự là tuy nhiên ánh nên lúc có đẳng thức vị tự ta
coi như biến hóa tương tự, không cần chứng tỏ mệnh đề hòn đảo.
15
Hình 1.2: Quỹ tích những điểm M, N, G
Chương một tóm tắt những kiến thức và kỹ năng cơ bản được sử dụng khi giải bài
toán quỹ tích. Đứng trước bài toán quỹ tích việc thiết lập những mệnh
đề thuận-hòn đảo (hoặc những cặp tương tự) là rất quan trọng. Tuy nhiên
cũng luôn có thể có nhiều bài toán quỹ tích trong không khí tương quan đến hệ thức,
đẳng thức véc tơ ta lại dùng biến hóa tương tự hoặc lập những đẳng
thức đặc trưng của phép biến hình. Các kỹ thuật rõ ràng hơn sẽ tiến hành
trình diễn trong chương hai.
16
Chương 2
Các phương pháp giải toán quỹ
tích trong không khí
2.1
Phương pháp quỹ tích cơ bản
Bài toán quỹ tích sẽ giải được nếu ta đưa quỹ tích cần tìm về những quỹ
tích cơ bản. Khi đó ta có ngay hình Φ nói trong phần đầu. Chủ yếu là
trong phần thuận ta tìm kiếm được quan hệ giữa yếu tố cần tìm quỹ tích
với những quỹ tích cơ bản.
Ví dụ 2.1. Cho M,N lần lượt hoạt động giải trí và sinh hoạt trên hai tuyến phố thẳng a
và b chéo nhau. Tìm quỹ tích những điểm I trên đoạn MN sao cho
IM
= k > 0.
IN
Lời giải.
Phần thuận. Gọi AB là đường vuông góc chung của a và b, C là yếu tố
CA
CA
IM
trên đoạn AB sao cho
= k . Khi đó C cố định và thắt chặt. Vì
=
(= k)
CB
CB
IN
nên theo định lý Ta lét hòn đảo ta có 3 đường thẳng a, b, CI cùng tuy nhiên tuy nhiên
với một mặt phẳng cố định và thắt chặt. Suy ra CI nằm trong mặt phẳng α trải qua
C, tuy nhiên tuy nhiên với hai tuyến phố thẳng (chéo nhau) a, b. Như vậy ta đã chỉ ra
mặt phẳng α xác lập chứa I.
Phần hòn đảo.
Lấy bất kỳ I α ta phải dựng hai điểm M a, N b sao cho MN chứa
IM
= k.
I thỏa mãn thị hiếu
IN
Vì I α a nên I
/ a, ta xác lập được mặt phẳng (I, a). Tương
17
Hình 2.1: Quỹ tích cơ bản
tự như vậy, xác lập được mặt phẳng (I, b). Hai mặt phẳng có I chung
và không trùng nhau nên cắt nhau theo một giao tuyến d. Hai đường
thẳng d và a cùng nằm trong mặt phẳng (I, a), không trùng nhau nên
chúng tuy nhiên tuy nhiên hoặc cắt nhau.
Nếu d a thì vì d là giao của α và (I, b) nên d b, dẫn tới b a,
Mâu thuẫn. Vậy d cắt a và tương tự d cắt cả b.
Ta gọi M = d a, N = d b, dựng mặt phẳng P chứa a tuy nhiên tuy nhiên
với α, mặt phẳng Q. chứa b tuy nhiên tuy nhiên với α thì ba mặt phẳng này cắt
AB tại A,C,B và cắt MN tại M, I, N (theo thứ tự đó).Theo định lý Ta
IM CA
=
= k . Mọi điểm của α đều thỏa mãn thị hiếu đề bài.
lét ta có:
IN
CB
Kết luận: Quỹ tích những điểm I là mặt phẳng α trải qua C, tuy nhiên tuy nhiên
với a và b.
Nhận xét 2.1. Khi k = 1, tức điểm I là trung điểm của MN, quỹ tích
của điểm I là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ 2.2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B.
Giả
sử AB=BC=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và có độ dài
a 2. Điểm M di động trên đoạn AB, α là mặt phẳng qua M, tuy nhiên tuy nhiên
với (SBC) cắt CD, SD, SA lần lượt tại N, P, Q..
18
a. Tìm quỹ tích điểm I = MQ NP.
b. Tìm quỹ tích hình chiếu H của A lên mặt phẳng α.
c. Tìm quỹ tích trung điểm E của MN và trung điểm F của IE.
Lời giải.
Hình 2.2: Quỹ tích I, H, E, F
a. Quỹ tích I.
Phần thuận. Gọi O là giao của AB và CD. Vì I MQ nên I (SAB);
I NP nên I (SCD). Như thế I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng cố
định (SAB) và (SCD). Dễ thấy giao tuyến đó đó là đường thẳng SO.
19
Phần hòn đảo. Lấy I trên SO, qua M ta phải dựng mặt phẳng cắt AB tại điểm
M. Để có giao điểm M thì không thể ở ngoài đoạn SI1 với I1 = SO At,
At qua A, tuy nhiên tuy nhiên với SB. Khi có M hay thấy I là giao của MQ và NP,
thỏa mãn thị hiếu Đk bài toán. Chú ý rằng I trọn vẹn có thể ở vị trí S nhưng không
ở vị trí của I1 được vì lúc đó không tồn tại tứ giác MNPQ. Vậy quỹ tích của
I là đoạn thẳng SI1 , bỏ điểm I1 .
b. Quỹ tích H.
Trong mặt phẳng (SAB) từ A hạ AGSB, AG cắt MQ ở H . Ta có
AH MQ, mặt khác QP (SAB) nên QP AH . Từ đó, AH α
hay H H. Ta thu được H thuộc đường cao AG của tam giác SAB.
Phần hòn đảo. Lấy mọi H trên đoạn AG. Qua H dựng MN SB, M AB, N
CD. Từ đó dựng mặt phẳng α. Dễ thấy AH α.
Quỹ tích những điểm H là phần đường cao AG của tam giác SAB.
c. Quỹ tích E.
Gọi E1 , E2 lần lượt là trung điểm của BC và AD. Theo kết quả đã biết
trong hình học phẳng, quỹ tích của E là đoạn thẳng E1 E2 .
Quỹ tích F. Đường thẳng E1 E2 trải qua O. Tứ giác SE1 E2 I1 là hình thang
hai đáy là SE1 , I1 E2 . Suy ra EI là đường trung bình của hình thang này,
từ đó quỹ tích trung điểm F của EI là đoạn F1 F2 với F1 là trung điểm
SE1 , F2 là trung điểm I1 E2 . Quỹ tích của F là đoạn thẳng F1 F2 .
2.2
Phương pháp quỹ tích phẳng trong không khí
2.2.1
Quỹ tích phẳng trong không khí
Những bài toán quỹ tích tuy trong giả thiết có mang những yếu tố không
gian nhưng yếu tố cần tìm quỹ tích được xác lập là luôn ở trong một
mặt phẳng cố định và thắt chặt. Ta gọi đó là những quỹ tích phẳng trong không khí.
Để giải những bài toán như vậy ta phải thiết lập tiến trình
Bước 1. Xác định mặt phẳng α chứa yếu tố cần tìm quỹ tích.
Bước 2. Trên mặt phẳng α giải bài toán quỹ tích phẳng.
Ví dụ 2.3. Cho hai tuyến phố thẳng a và b chéo nhau, vuông góc với nhau
và cách nhau một khoảng chừng bằng h. Các điểm M và N thứ tự hoạt động giải trí và sinh hoạt
trên a và b sao cho độ dài MN luôn bằng k không đổi. Tìm quỹ tích
trung điểm I của MN.
| 