1. Định nghĩa
- Cho hai vectơ $overrightarrowa,overrightarrowb$ đều khác $overrightarrow0$. Tích vô vị trí hướng của $overrightarrowa$ và $overrightarrowb$ là một số trong những.
- Ký hiệu: $overrightarrowa.overrightarrowb$
| $overrightarrowa.overrightarrowb=left | overrightarrowa right |.left | overrightarrowb right |cos (overrightarrowa,overrightarrowb)$ |
- Nếu $overrightarrowa=overrightarrow0$ hoặc $overrightarrowb=overrightarrow0$ thì $overrightarrowa.overrightarrowb=0$
=> $overrightarrowaperp overrightarrowb$
- Nếu $overrightarrowa=overrightarrowb$
=> $overrightarrowa.overrightarrowb=overrightarrowa.overrightarrowa=overrightarrowa^2$
2. Các tính chất của tích vô hướng
- Với ba vectơ $overrightarrowa,overrightarrowb,overrightarrowc$. ta có:
$overrightarrowa.overrightarrowb=overrightarrowb.overrightarrowa$
$overrightarrowa.(overrightarrowb+overrightarrowc=overrightarrowa.overrightarrowb+overrightarrowa.overrightarrowc$
$(koverrightarrowa).overrightarrowb=k(overrightarrowa.overrightarrowb)=overrightarrowa.(koverrightarrowb)$
$overrightarrowa^2geq 0,overrightarrowa^2=0 <=>overrightarrowa=overrightarrow0$
|
3. Ứng dụng
Độ dài vectơ
| $left | overrightarrowa right |=sqrta_1^2+a_2^2$ |
Góc giữa hai vectơ
| $cos (overrightarrowa,overrightarrowb)=fracoverrightarrowa.overrightarrowb=fraca_1b_1+a_2b_2sqrta_1^2+a_2^2.sqrtb_1^2+b_2^2$ |
Khoảng cách giữa hai điểm
- Cho hai điểm $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$, ta có:
| $AB=sqrt(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$ |
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 45 – sgk hình học 10
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính những tích vô hướng:
$overrightarrowAB.overrightarrowAC$
$overrightarrowAC.overrightarrowCB$
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 45 – sgk hình học 10
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $overrightarrowOA.overrightarrowOB$ trong hai trường hợp:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB.
b) Điểm O nằm trong đoạn AB.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 45 – sgk hình học 10
Cho nửa hình tròn trụ tâm O có đường kính AB=2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
a) Chứng minh: $overrightarrowAI.overrightarrowAM=overrightarrowAI. overrightarrowAB$ và $overrightarrowBI.overrightarrowBN=overrightarrowBI. overrightarrowBA$.
b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính $overrightarrowAI.overrightarrowAM+overrightarrowBI. overrightarrowBN$ theo R.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 45 – sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(1; 2).
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
b) Tính chu vi tam giác OAB.
c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích quy hoạnh s tam giác OAB.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 45 – sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ $overrightarrowa$ và $overrightarrowb$ trong những trường hợp sau:
a) $overrightarrowa=(2;-3)$ và $overrightarrowb=(6;4)$
b) $overrightarrowa=(3;2)$ và $overrightarrowa=(5;-1)$
c) $overrightarrowa=(-2;-2sqrt3)$ và $overrightarrowa=(3;sqrt3)$
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: Trang 45 – sgk hình học 10
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông vắn.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 7: Trang 45 – sgk hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là yếu tố đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác vuông ở C.
=> Xem hướng dẫn giải
Trắc nghiệm hình học 10 bài 2: Tích vô vị trí hướng của hai vectơ (P2)
§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ĐỊNH NGHĨA
Cho hai vectơ a và b khác vectơ õ. Tích vô vị trí hướng của ã và b là một số trong những, kí hiệu là a . b, được xác lập bởi công thức sau:
a • b “ I) • cos( 3,1))
Trường hợp tối thiểu một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta qui ước a . b =0.
Chú ý
Với ã và b khác vectơ ỏ ta có a.b = 0 a lb
Khi ã = b tích vô hướng a .a được kí hiệu là ã và sô” này được gọi là bình phương vô vị trí hướng của vectơ a .
Ta có: ã’ – a. |ã| cos0° = |ă|
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Người ta chứng tỏ được những tính chất tại đây của tích vô hướng:
Với ba vectơ a , b , c bất kì và mọi số k ta có:
ã . b = b. ã (tính chất giao hoán)
a.(b+ c) = a.b + a.c (tính chất phân phối)
(kă).b = k.(ã.b) = ã.(kb)
-2 -2 – a >0, a – 0 a = 0
Nhận xét: Từ những tính chất của tích vô vị trí hướng của hai vectơ ta suy ra:
(a + b)2=a2+2a.b + b‘
(ă – b )2 – a2 – 2 ã . b + b’
(ã + b)(a – b) = a’ – b2
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÕ HƯỚNG
Trên mặt phẳng tọa độ (O; ĩ, J), cho hai vectơ a = (Up a2), b = (bp b9) Khi đó tích vô hướng ă • b là:
ã • b = sẠ + a2b2
ỨNG DỤNG
Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ ã = (ab aọ) được xem theo công thức: jaj = yỊa-ị + aị
Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô vị trí hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (ax; a9) và b – (bp b2) đều khác Q. thì ta có:
cos(a,b) = 7-j
a.b atbj + a2b9
_ = 1 1 bl ựapH- áị ,ựbf + b*
Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điêm A(xa; yA) và B(xb; yB) được xem theo công thức:
AB = ự(xB – XA )2 + (yB – yA )2
B. GIÃI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính những tích vô hướng ĂB.ÃC, AC.CB
Giải
AB.AC = Ịab|.|ac|.cos90″
Vậy ÃẼ.ÃC = 0
AC.CB = |AC|.Icb|.cos135°
BÀI 2
Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng ÕÃ.ÕB trong hai trường hợp:
Điếm o nằm ngoài đoạn AB.
Điếm o nằm trong đoạn AB.
Giải
Khi o nằm ngoài đoạn AB thì hai vectơ o A B
OA, OB cùng hướng và góc (OẤ, OB) = 0.
COS(ÕẦ, ÕB) = 1 nên ÕÃ.ÕB = a.b A o B
Khi o nằm trong đoạn AB thì OẤ và OB là hai vectơ ngược hướng và góc (OA, OB) – 180°
cos(OẤ, ỠB) = -1 nên ÕÃ.ÕB = -a.b
BAI 3
Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là haí điếm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA .
Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM + BI.BN theo R.
Giải
Ta có: AI.AM = Jai| .Jam| ,cosO° = AI.AM (1)
AI.AB = |Al| .|abJ cosIAB = AI.AB.cosIAB = AI.AM (2)
(Do tam giác AMB vuông tại M => AM = I
AB.cosĨAB)
Từ (1) và (2) suy ra ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB Hoàn toàn chứng tỏ tương tự ta cũng rất được BI.BN – BĨ.BÃ
Ta có: AI.AM + BI.BN = AI.AB + BI.BA (Theo câu a)
= ÃB(ÃĨ – BĨ) – ÃB.ÃB = AB2 = (2R)2 = 4R2
BÀI 4
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(l; 3), B(4; 2).
Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
Tính chu vi tam giác OAB.
Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích quy hoạnh s tam giác OAB.
Giải
a) Gọi D(x; 0) ta có; AD(1 – x; 3), DB(4 – x; 2)
Để DA = DB « |ÕÃ| = IDS!
7(1 – x)2 + 32 = 7(4 – x)2 + 22 (1 – x)2 + 9 = (4 – x)2 + 4
..5
6x = 10 X = —
O
Vậy d[|; o)
ÃB = (3; -D=> AB = M = + 1″ =
ÕÃ(1; 3) => OA = M = 7l2 + 32 = 7ĨÕ OB (4; 2) => OB = ỊõẼ| = yj4~ + 22 = 720
Vậy chu vi tam giác bằng OA + OB + oc = 7ĨÕ + 7ĨÕ + 720
Ta có: ÕÃ.ĂB = 1-3 + 3.(—1) => OA 1 AB
=> Diện tích tam giác OAB = ^.OA.AB = Ẹ-7ĨÕ.7ĨÕ – 5 (đvdt)
Zj Zj
BÀI 5
Trên mặt phắng Oxy hãy tính góc tạo bởi hai vectơ a và b trong những trường hợp sau:
a) ã = (2; -3), b = (6; 4) b) ã = (3; 2), b = (5; -1)
ã = (-2;-273), b = (3; 73 )
Giải
a) ă.b = 2.6 – 3.4
= 0 => ã ± b ^> (a, b) = 90°
ă.b 3.5 + 2(-l) 13 1
b) Ta có cos( a , b)
” |ã|. b ‘ 732 + 22.7õ2 + l2 ’ 726.713 72
=> (ã, b)
= 45°
— —
ă.b -2.3 + 273.73 -12 Í3 -73
c) Ta eó: cost a , b;
ẵ|.b ’ 74 + 12.79 + 3 477 V4 2
=> (ã, b;
) = 150°
BÀI 6
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bôn điểm:
A(7; -3) B(8; 4) C(l; 5) D(0; -2)
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông vắn.
Giải
Ta có ÃẼ = (1; 7) DC = (1; 7)
AB = DC => ABCD là hình bình hành. (1)
Ta lại sở hữu AB2 = 50 => AB = 5^2 AD2 = 50 => AD – 5Ự2
AD = AB, kết thích phù hợp với (1) suy ra: ABCD là hình thoi. (2)
Mật khác AB – (1; 7) AD = (-7; 1)
.1.7 + (-7).l = 0 => ÃB 1 ÃD
Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông vắn.
BÀI 7
Trên mặt phẵng tọa độ Oxy cho điếm A(-2; 1). Gọi B là điếm đôi xứng của điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ những điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c.
Giải
B là yếu tố đối xứng với A qua gốc tọa độ o nên suy ra điếm B(2; -1). Gọi tọa độ C(x; 2) ta có:
CÃ = (-2 – x; -1) , CB = (2 – x; -3)
Để tam giác ABC vuông tại c thì:
CÃ • CB = 0 (-2 – x).(2 – x) + (—1X—3) = 0 x = ±1 Vậy điếm C(l; 2) và C(-l; 2).
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Chứng minh những công thức (với hai vectơ ã và b bất kì):
ă.b = — ^|ã + b|”-|ăj -|b| j
a . b = -| (|ã|2 + |b|2 – |ă – b|’ j
a.b = ỉ(|ã + bj2-|a-b|2)
BÀI 2
Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b.
Tính những tích vô hướng AB.BC > ÃB.ĂC
Tính độ dài những đường trung tuyến của tam giác ABC.
BÀI 3
Cho tam giác ABC, AB = c, BC = a, CA = b. Gọi M là yếu tố sao cho BM = k.BC . Tính độ dài đoạn thẳng AM. Xét trường hợp đặc biệt quan trọng khi k = —.
BÀI 4
Chứng minh với bốn điểm A, B, c, D bất kì, ta có:
DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0 (*)
BÀI 5
Cho tam giác ABC. Biết AB = c, BC = a, CA = b. Hãy tính ÃB.ÃC theo a, b, c.
BÀI 6
Cho hình chữ nhật ABCD, m là yếu tố tùy ý. Chứng minh rằng:
1- MÃ + MC = MB + MD 2. MA.MC = MB.MD
MA2 + MC2 = MB2 + MD2
BÀi 7
Cho tam giác vuông cân ABC tại A. Tính góc nhọn giữa những trung tuyến kẻ từ những đỉnh B, c.
BÀI 8
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
AC 1 BD o AB2 + CD2 = AD2 + CB2
BÀI 9
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh:
GA2 + GB2 + GC2 = j(a2 + b2 + c2)
MA2 + MB2 + MC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3MG2
BÀI 10
Cho đa giác ApAg,An và điếm M di động trên mặt phẳng. Tìm giá trị nhỏ nhất của: s = AMj + AM| + … + AM2
BÀI 11
Cho tam giác ABC có trọng tâm G nội tiếp đường tròn (0; R). Chứng minh rằng:
0G2 = R2 – j(a2 + b2 + c2)
BÀI 12
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: BM 1 CN o b2 + c2 = 5a2
Ở đây BC = a, AC = b, AB = c.
BAI 13
Cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích những điểm M thỏa Đk: MA 2(b2+c2)-a2
= ‘ 4
2 2(a2 + c2) – b2
‘
2 2(a2 + b2)-c2
m, = —
c 4
+ MB2 = 3MA.MB
| 
